برج هانوي

ليس هذا ببرج يقع في هانوي الفيتنامية، وإنما هو لعبة أحجية تتألف من ثلاثة أعمدة مغروسة على قطعة (خشبية) منبسطة، وعدد من الأقراص المثقوبة في مركزها بحيث يمكن تمريرها عبر أي من العواميد الثلاثة. هذه الأقراص مختلفة في القطر، ترتب جميعها عند عمود ما  بحيث يكون القرص الأكبر قطراً في الأسفل ومن ثم القرص الذي يلي الأول في طول القطر وهكذا حتى يوضع القرص الأصغر قطراً في القمة، لتشكل نوعاً من البرج كما يبن ذلك الشكل.

الهدف من اللعبة هو إعادة بناء البرج على عمود آخر بأقل عدد من الحركات وعلى أساس احترام القاعدتين التاليتين:

1.    يمكن تحريك قرص واحد فقط في كل حركة

2.    في كل حركة ينقل القرص الموجود في الأعلى من عمود إلى عمود آخر، بحيث لا يوضع قرص ما فوق قرص آخر أصغر منه قطراً.

خطوات الحل لبرج بأربعة أقراص

يمكن حل هذه المسألة بثلاث حركات على الأقل في حالة قرصين، وفي حالة ثلاثة أقراص فنحتاج إلى سبع حركات وإذا كان لدينا أربعة أقراص فسنحتاج إلى 15 حركة وإذا كان لدينا n قرصاً فنحتاج إلى [2EXPn]-1  حركة في الحد الأدنى.

يعود اختراع، أو اكتشاف، هذه اللعبة للرياضياتي الفرنسي إدوار لوكا في عام 1883. ولكن ربما استوحى لوكا اللعبة من قصة معروفة  في أكبر المعابد الهندوسية قاطبة وهو معبد كاشي فيشوانات الذي يضم غرفة كبيرة تحتوي على ثلاث أعمدة ويحيط بها 64 قرصاَ ذهبياً. وعلى كهنة هذا المعبد أن يقوموا بتحريك هذه الأقراص وفق قواعد البراهما التراتبية، وذلك بتوافق مع نبوءة قديمة، وأن يستمروا في هذا التحريك بلا توقف، وبحسب هذه النبوءة، فمع انتهاء تحريك الأقراص سينتهي العالم.

وفي الواقع، فلو افترضنا أن كل حركة تستغرق ثانية مثلاً، فسنكون بحاجة إلى سبع ثوان لإنجاز اللعبة بثلاثة أقراص، وخمس عشرة ثانية إذا كانت اللعبة بأربعة أقراص ولم نرتكب أي خطأ في نقل الأقراص، وسنحتاج إلى 1023 ثانية إلى كان لدينا عشرة أقراص، وسنحتاج إلى حوالى 290 ساعة إذا كانت اللعبة بعشرين قرص. وفي حالة اللعبة بأربعة وستين قرصاً فإننا بحاجة إلى 585 مليار سنة. أي، إذا صدقنا أن عمر الكون هو 15 مليار سنة، أننا سنحتاج إلى أربعين ضعف عمر الكون، ومن ثم فيمكن القول "بصحة" النبوءة البراهمية، إذ خلال ذلك ستتشكل أكوان وأكوان إذا قبلنا بنظريات تمدد وتقلص الكون!.

ولمن لا يصدق فعليه تجربة برج من خمسة أقراص وليحسب الزمن الذي يحتاجه!