تستعمل المخططات والصور في الرياضيات كثيراً بهدف توضيح مسألة أو مفهوم أو نظرية، أو حلها أو برهنتها. ولكنها في أفضل الحالات هي مجرد عون نفسي أكثر منها أي شيء آخر. ومع هذا فهي في بعض الأحيان تثير من التساؤلات أكثر مما توضح.
لنعتبر السلاسل غير المنتهية، ولنأخذ مثالاً السلسلة الأولى الآتية:
1+ 1/4 + 1/9 + 1/16 + ... التي يمكن تمثيلها بالشكل الأول لآتي:
لنأخذ مثالاً آخر هو السلسلة الثانية الآتية:
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + .... التي يمكن تمثيلها بالشكل الثاني الآتي:
ولو اكتفينا فقط بمجرد النظر إلى الشكلين لقلنا إنهما متقاربان وأن مجموع كل سلسلة سيكون مقارباً للأخرى! ولكن الواقع مختلف تماماً. فمجموع السلسلة الأولى محدود ويساوي تقريباً 1.6449، أما السلسلة الثانية فمجموعها غير محدود. بمعنى أن كمية الدِهان اللازمة لطلاء الشكل الأول هي كمية صغيرة ويمكن الحصول عليها من أي مخزن للدهان، أما الثانية فكل الدهان الموجود في العالم لن يكفي لطلاء هذا الشكل!!!! غريب أليس كذلك؟ والشكلان لا ينمان عن ذلك... نترك لكم التحقق من ذلك....
العبرة هي أنه لا يمكن الاعتماد على النظر وحده للوصول إلى خلاصة مفيدة!
لنعتبر السلاسل غير المنتهية، ولنأخذ مثالاً السلسلة الأولى الآتية:
1+ 1/4 + 1/9 + 1/16 + ... التي يمكن تمثيلها بالشكل الأول لآتي:
لنأخذ مثالاً آخر هو السلسلة الثانية الآتية:
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + .... التي يمكن تمثيلها بالشكل الثاني الآتي:
ولو اكتفينا فقط بمجرد النظر إلى الشكلين لقلنا إنهما متقاربان وأن مجموع كل سلسلة سيكون مقارباً للأخرى! ولكن الواقع مختلف تماماً. فمجموع السلسلة الأولى محدود ويساوي تقريباً 1.6449، أما السلسلة الثانية فمجموعها غير محدود. بمعنى أن كمية الدِهان اللازمة لطلاء الشكل الأول هي كمية صغيرة ويمكن الحصول عليها من أي مخزن للدهان، أما الثانية فكل الدهان الموجود في العالم لن يكفي لطلاء هذا الشكل!!!! غريب أليس كذلك؟ والشكلان لا ينمان عن ذلك... نترك لكم التحقق من ذلك....
العبرة هي أنه لا يمكن الاعتماد على النظر وحده للوصول إلى خلاصة مفيدة!
ليست هناك تعليقات:
إرسال تعليق